הוכחת ביטוי ל־cos בעזרת משפט הקוסינוסים (קיץ 2021 מועד מיוחד, סעיף א)טריגונומטריה 571 · שיעור 35
📄 נוסח השאלה
משולש ABC חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו R.
נתון כי ∢BAC = 80 מעלות.
נסמן את הזווית AOB ב־a, ואת הצלע AB ב־k (בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית; כאן a).
א. הוכיחו כי cos a = 1 − k22R2 .
סעיף א – הוכחת הביטוי ל־cos a
סרטוט בקנה מידה עבור k = 34R: הזווית a = ∢AOB (סגול).
במשולש AOB: OA = OB = R (רדיוסים), AB = k, והזווית בין הרדיוסים היא a. לפי משפט הקוסינוסים:
📐 נוסחה: משפט הקוסינוסים
AB2 = OA2 + OB2 − 2 · OA · OB · cos a
נציב OA = OB = R ו־AB = k:
k2 = R2 + R2 − 2 · R · R · cos a
k2 = 2R2 − 2R2 cos a
📐 נוסחה: משפט הקוסינוסים
c2 = a2 + b2 − 2ab cos C
סעיף א – הוכחת הביטוי ל־cos a · המשך
k2 = 2R2 − 2R2 cos a
2R2 cos a = 2R2 − k2
cos a = 1 − k22R2
✅ פתרון סופי: הוכח
📌 סיכום התשובות
סעיף א
הוכח
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא